布朗运动等于某个值的概率

1. 布朗运动等于某个值的概率

布朗运动等于某个值的概率，在t时刻，最大值大于a的概率，等于2倍的布朗运动本身大于a的概率。

它的证明如下：

假设布朗运动在时刻t以前，第一次触及y = a的时间为τa，那么将会有如下的结果：

P(B(t) - B(τa) > 0 | τa<t) = P(B(t) - B(τa) < 0 | τa<t)。

它的意思是说，如果我们选定了一个时刻t，并且在t时刻之前发生了布朗运动触及到y = a的事件（也就是条件概率中的条件τa 0）和沉到y = a的下方（B(t) - B(τa) < 0）的概率是一样的。